Даны 12 монет, одна из которых фальшивая. Фальшивая монета отличается от остальных по весу, остальные весят одинаково. Причем мы НЕ знаем тяжелее или легче фальшивая монета.
Требуется за 3 взвешивания на аптекарских весах с 2 чашечками и без использования гирь определить, какая из монет фальшивая.
Жестокая задачка... Решать предлагаю так.
Пронумеруем монеты от 1 до 12. Разделим на группы по 4 монеты:
(I) 1 2 3 4 (II) 5 6 7 8 (III) 9 10 11 12
Взвесим группы I и II. Возможны три варианта: I < II, I > II, I = II.
Первые два варианта симметричны, о них ниже. В случае третьего варианта получаем, что фальшивая монета находится в группе III. Если так, вторым шагом взвесим монеты 9 и 10. Если, например, 9 < 10 (в случае 9 > 10 рассуждения аналогичны), то или 9 тяжелее, или 10 легче. Третьим шагом взвешиваем одну из них с заведомо настоящей и получаем ответ.
Если же 9 = 10, то фальшивая 11-я или 12-я. Взвесим 11-ю с заведомо настоящей, скажем, с 1-й. Если 1 < 11, то фальшивая 11, тяжелее. Если 1 > 11, то фальшивая 11, легче. Если 1 = 11, то фальшивая 12, легче или тяжелее неизвестно.
Рассмотрим теперь случай, когда при первом взвешивании I-я группа тяжелее II-й (случай II-я тяжелее I-й решается аналогично). В этом случае возможны варианты: а) 1 или 2 или 3 или 4 — тяжелее. б) 5 или 6 или 7 или 8 легче.
Разделим теперь монеты на группы по три монеты следующим образом: (1) две монеты из группы I, одна из группы II. (2) две оставшиеся монеты из группы I, одна из группы II. (3) две оставшиеся монеты из группы II, одна из группы III, заведомо настоящая. В нашем случае группы будут такими:
(1) 1 2 5
(2) 3 4 6
(3) 7 8 9
На втором шаге взвесим группы (1) и (2). Возможны варианты:
(*) (1) < (2). Это означает, что или одна из монет 1 и 2 тяжелее, или монета 6 легче.
(**) (1) > (2). Это означает, что или одна из монет 3 и 4 тяжелее, или монета 5 легче. Заметим, что этот вариант симметричен (*), отдельно рассматриваться не будет.
(1) = (2). Это означает, что монеты с 1 по 6 настоящие, и фальшивая — 7 или 8, причем по результатам первого этапа она легче. В этом случае третьим шагом просто взвесим 7 с заведомо настоящей, скажем, с 1. Если 1 = 7 — фальшивая 8. Если 1 > 7 — фальшивая 7. Заметим, что вариант 1 < 7 невозможен.
Рассмотрим теперь вариант (*) — (1) < (2). Т.е. или 1 или 2 тяжелее, или 6 легче. Тогда третьим шагом взвесим монеты 1 и 2.
Если 1 < 2 — 1-я фальшивая. Если 1 > 2 — 2-я фальшивая. 1 = 2 — 6-я фальшивая.
10/28/2009 at 16:52
Жестокая задачка... Решать предлагаю так.
Ответ спрятан модератором. Смотри выше.
10/30/2009 at 20:29
Можно еще усложнить условия: За три взвешивания нужно не только найти фальшивую, но и сказать тяжелее она или легче.
06/04/2011 at 22:02
Рассмотрим теперь вариант (*) — (1) < (2). Т.е. или 1 или 2 тяжелее, или 6 легче. Тогда третьим шагом взвесим монеты 1 и 2.
Если 1 2 — 2-я фальшивая.
А кто объяснеит откуда берётся последний вывод?
Рассмотрим случай, когда:
1 взвешиванме: 1234<5678
2 взвешивание: 125<346
как видим в обоих взвешиваниях 1 и 2 монеты лежали на одной чаше.
Мы не знаем фальшивая легче или тяжелее, но делаем вывод: Если 1 2 — 2-я фальшивая.
Откуда он берётся? обоснуйте?
07/11/2011 at 21:04
Откуда он берётся? обоснуйте?
1 взвешивание: 1234<5678
2 взвешивание: 125<346
По ходу решения монета 1 или монета 2 легче остальных. Та монета, которая легче и ечть фальшивая
11/23/2011 at 02:19
хе... а я не догадалась нумеровать монеты, поэтому решение у меня получилось многословное)))
Делим на кучки 4+4+4: по 4 монеты на каждой чашке весов и 4 монеты остались на столе.
1. Первое взвешивание: вариант — равновесие и, следовательно, обе кучки состоят из настоящих монет, а фальшивая – в отложенной кучке из четырех монет. Тогда на одной чашке весов оставляем 3 монеты (одну снимаем и кладем на стол отдельно), а на другой чашке снимаем взвешенные монеты и кладем 3 монеты из первоначально отложенных.
1.1. Второе взвешивание: вариант — новые кучки одинаковы по весу и, следовательно, на весах настоящие монеты. Тогда фальшивая монета – оставшаяся не взвешанной (тут остается тайной – тяжелей она, чем настоящая, или легче, но выяснение этого вопроса в задаче не требуется).
1.2. Второе взвешивание: вариант — новые кучки разные по весу, но про одну из них мы точно знаем, что там все настоящие. Следовательно, мы выясняем, тяжелей фальшивая монета (которая находится в замененной кучке) или легче. В этом варианте нужно еще одно взвешивание: замененную кучку из трех монет раскладываем так – по одной монете на чашках весов и одна в стороне.
1.2.1. Третье взвешивание: вариант — равновесие, значит фальшивая – на столе.
1.2.2. Третье взвешивание: вариант — весы не уравновешены, но мы знаем (из предыдущего взвешивания), которая из монет фальшивая – более тяжелая или более легкая.
2. Первое взвешивание: вариант — первоначальные кучки из четырех монет разные по весу и, следовательно, фальшивая в одной из них, а на столе все 4 монеты заведомо настоящие. Помечаем монеты из более легкой кучки «л», более тяжелой «т» и настоящие монеты на столе «н». Из восьми «подозреваемых» монет две «л» кладем на одну чашку весов, и другие две «л» — на вторую. К первой паре добавляем одну настоящую, а ко второй – одну «т».
2.1. Второе взвешивание: вариант — 2л1н = 2л1т. Следовательно, все эти монеты настоящие, а фальшивая монета – в оставшейся кучке их трех «т». Кроме того ясно, что фальшивая монета тяжелей настоящей, поскольку все «л» реабилитированы. Оставшиеся 3т раскладываем по одной монете на чашки и одну на стол.
2.1.1. Третье взвешивание: вариант — равновесие, значит фальшивая – на столе.
2.1.2. Третье взвешивание: вариант — весы не уравновешены, но мы знаем (из предыдущего взвешивания), что более тяжелая монета — фальшивая.
2.2. Второе взвешивание: вариант — 2л1н 2л1т. Следовательно, фальшивая – среди двух «л» на более легкой чашке.
2.3.1. Третьим взвешиванием выясняем, которая из двух легче.
11/23/2011 at 02:22
ну про знаки вы догадались, где потеряны))
11/23/2011 at 02:24
блин, и часть текста потерялась...((((
12/15/2011 at 12:18
вообщето за 3 взвешивания можно найти фальшивую из 27 монет. а не из 12
12/15/2011 at 12:20
делим на 9,9 и 9
любые две кучи на весы, если равно, то фальшивая в третей куче, если не равно, то фаль...
а не, вру, не учел условие «Причем мы НЕ знаем тяжелее или легче фальшивая монета», сорри
01/09/2012 at 13:14
ни одного правильного решения не вижу, я решил задачу, Sny близок к ответу но не совсем, 1/12 получится что у него монета попадет не на весы, и останется на выбор 1 из 2х неизвестных.
01/09/2012 at 13:24
тут Spy предлагает:
2.1. Второе взвешивание: вариант — 2л1н = 2л1т. Следовательно, все эти монеты настоящие, а фальшивая монета – в оставшейся кучке их трех «т». Кроме того ясно, что фальшивая монета тяжелей настоящей, поскольку все «л» реабилитированы. Оставшиеся 3т раскладываем по одной монете на чашки и одну на стол.
Он предлагает снять по 3 с каждой чаши с легкой и тяжелой и доложить по одной эталонной, и получается 2 варианта или уравновесились или нет
если уравновесились значит снял фальшивую и она одна из 6ти снятых если неуравновеслись то она осталась на весах и тут все просто
А если они уравновесились то 50/50 что он угадает в какой из 3х искать тк мы не знаем она легче или тяжелее
01/09/2012 at 13:42
Первое действие поделить на 3 кучи по 4 это верно, если в этом случае уравновесятся то дальше верно пишете, нет смысла повторять
А вот если не уравновесились то второе действие таково по 1 монете с каждой стороны меняем местами оставшиеся 3 с любой чаши меняем на 3 из эталонных и тогда возможно 3 варианта:
1. весы перекулились в обратную сторну тогда все просто это 1 из 2х которые поменяли местами
2. весы уравновесились тогда она в 3х которые мы сняли с весов и поменяли на эталонные
3. весы остались в том же положении тогда она в 3х которые мы вообще не трогали на весах
ну а в 3е действие как найти 1 из 3 имея эталонные думаю понятно всем, кидае 1 снимаем, 1 кидаем на одну чашу, 1 на вторую чашу
если уравновесились значит та что сняли, если неуравновесились то она одна из 2х на весах и теперь по второму действию смотрим эта монета была в куче которая была легче или тяжелее и определяем какая из них фальшивая
07/08/2012 at 01:15
Предлагаю альтернативное решение: После первого взвешивания (когда первые четыре тяжелее вторых четырех или наоборот)обозначить первую четверку Т(тяжелые) вторую — Л(легкие), а третью четверку Н(нормальные).
Второе взвешивание: ТТТЛ-НННТ.
Вариант 1) ТТТЛ>НННТ значит фальшивая слева и среди трех Т, далее взвесим Т-Т если равно, то фальшивая оставшаяся Т, если не равно — соответственно фальшивая та, которая оказалась тяжелей
Вариант 2) ТТТЛ<НННТ Значит фальшивая слева и она Л. либо справа и она Т. Одну из них взвесим с Н и определим фальшивую
Вариант 3) ТТТЛ=НННТ значит фальшивая в оставшихся ЛЛЛ, которые не попали на весы во втором взвешивании. Взвесим любые две из них между собой если равно , то третья если нет то та, которая легче.
01/19/2013 at 22:22
делим на 3 кучки по 4 монеты.Взвешиваем любые 2 из них,
Итак, после 1 взвешивания мы видим, что одна кучка перевесила другую,тут две возможности: либо фальшивая среди 1,2,3,4 (первой кучки) и она тяжелее либо среди 5,6,7,8 (вторая кучка) и она легче, плюс мы имеем 3 кучку в которой монеты-нормальные.Обозначим монеты первой кучки -монетами Т, потому что они имеют шанс быть фальшивыми, причем тяжелыми,аналогично монеты второй кучки-монеты Л,ну и нормальные монеты-монеты Н.
Второе взвешивание будет следующее: на одной чаше Н Н Л Т (кучка А) , на другой Л Л Т Т (кучка Б), в сторонке лежат Л и Т (всего 8 монет-кандитатов на фальшивку 4 на легкую и 4 на тяжелую).Возможны 3 варианта.
Весы показали равенство-монета фальшивка среди монет, которые лежали в сторонке, сравниваем (3 взвешивание) любую из них с Н, определили фальшивую монету(не забываем, что значит Л и Т).
Весы показали А>Б, имеем Т из первой кучки и Л Л из второй кучки,аналогично если
весы показали А Н Н , фальшивка Т.
Весы Л Т < Н Н , фальшивка Л.
09/05/2013 at 11:00
Проведем взвешивание групп по 4 монеты, и рассмотрим вариант, когда одна группа монет тяжелее другой.
После взвешивания выделим группы T,L и N
T={t1,t2,t3,t4}(тяж); L={L1,L2,L3,L4}(легк); N={n1,n2,n3,n4}(этал)
Сформируем 2 группы A={t1,t2,t3,L1};B={t4,n1,n2,n3} и взвесим.
Рассмотрим варианты:
A=B: фальшивка легкая в группе {L2,L3,L4}, сравниваем L2 и L3
Варианты: L2=L3 => L4 — Фальшивая
L2>L3 => L3 — Фальшивая
L2 L2 — Фальшивая
A>B: фальшивка тяжелая в группе {t1,t2,t3}, сравним t1 и t2
Варианты: t1=t2 => t3 — Фальшивая
t1>t2 => t1 — Фальшивая
t1 t2 — Фальшивая
A<B: фальшивка либо L1 (легкая) либо t4 (тяжелая). Здесь 2 варианта: сравниваем с эталонной монетой либо L1, либо t4 (например L1n4) если L1<n4 то L1-фальшивка, если L1=n4 то t4 — фальшивка
-------------------------------------------------
Рассмотрим вариант, когда группы T и L имеют одинаковый вес, тогда фальшивка в группе N, переименуем группу N в U={u1,u2,u3,u4}
а T и L объединим в группу T+L=N={n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8}
сравним A={u1,u2,u3}B={n1,n2,n3} и рассмотрим варианты:
A=B: значит u4-фальшивка, сравниваем u4n4 и выясняем тяжелая она или легкая.
A>B: фальшивка тяжелая, сравниваем u1u2
Варианты: u1=u2 => u3 — фальшивка,
u1>u2 => u1 — Фальшивка,
u1 u2 — фальшивка
A<B: фальшивка легкая, аналогично сравниваем u1u2
Варианты: u1=u2 => u3 — фальшивка,
u1>u2 => u2 — фальшивка,
u1 u1 — фальшивка
09/05/2013 at 11:03
Знак меньше и сравнения съело.